Programme détaillé

Cours 1

Domain Decomposition Methods : Schwarz, Schur, Waveform Relaxation and the Parareal Algorithm

    Intervenant : Martin Gander (Université de Genève)

- Support du cours

3 h (2 x 1.5 h)

Domain decomposition methods have been developed in various contexts,
and with very different goals in mind. I will start my presentation
with the historical inventions of the Schwarz method, the Schur
methods and Waveform Relaxation. I will then show for a simple model
problem how all these domain decomposition methods function, give
precise results for the model problem, and also explain the most
general convergence results available currently for these methods. I
will conclude with the parareal algorithm and interesting recent
variants.

Content :

1) Historical introduction :

  • The invention of Schwarz
  • Przemieniecki and Substructuring
  • Picard, Lindeloef and Waveform Relaxation

2) Schwarz Methods for a model problem :

  • Alternating and parallel Schwarz methods
  • Multiplicative and additive Schwarz methods, RAS
  • Schwarz methods as preconditioners
  • Optimized Schwarz methods

3) Schur Complement Methods for a model problem :

  • Primal Schur methods
  • Dual Schur methods
  • FETI and Neumann-Neumann
  • Dirichlet-Neumann and Neumann-Dirichlet

4) Coarse Grid Corrections :

  • Scalability Problems
  • Construction of a coarse grid correction

5) Space-Time Parallel Methods :

  • Schwarz waveform relaxation methods
  • Optimized Schwarz waveform relaxation methods
  • Time parallelization: the Parareal Algorithm
  • A general space-time parallel method

Cours 2

Méthodes de Schwarz

    Intervenant : Victorita Dolean (Laboratoire J.A. Dieudonné, Nice)

- Support de cours 1
- Support de cours 2

6 h (4 x 1.5 h)

  • Méthodes de Schwarz: au niveau continu + version discrètes: Block-Jacobi, RAS, AS; cas de deux et plusieurs sous-domaines; analyse de convergence geometrique et Fourier; illustrations en utilisant FreeFEM++.
  • Méthodes de Krylov (en bref) et application à la décomposition de domaine.
  • Grilles grossières: besoin d'une méthode à deux niveaux, quelques éléments théoriques des méthodes de Schwarz à deux niveaux et application à un problème elliptique; illustrations en utilisant FreeFEM++.
  • Méthodes de Schwarz "modifiées": Conditions d'interface optimales et optimisées, principes generaux. Application au Laplacien, Helmholtz et éventuellement Maxwell.

Cours 3

Méthodes FETI

    Intervenant : François-Xavier Roux (ONERA, Palaiseau)

- Support de cours 1
- Support de cours 2

6 h (4 x 1.5 h)

  • La méthode du complément de Schur. Interprétation comme un préconditionneur local optimal. Propriétés du complément de Schur.
  • Approche algébrique générale pour les méthodes de résolution par sous-domaines sans recouvrement.
  • Méthode FETI. Conditions de raccord redondantes aux coins. Préconditionnement Dirichlet.
  • Problème des singularités locales, projeteur « grille grossière » associé.
  • FETI à deux multiplicateurs de Lagrange. Conditions de raccord optimales.
  • Approche générale pour fabriquer des préconditionneurs « grille grossière » par des méthodes de type déflation.

TP Informatique et implémentation

Méthodes de Schwarz

    Intervenant : Loïc Gouarin (Laboratoire de mathématique d’Orsay)

4 h 30 (3 x 1.5 h)

Méthodes FETI

    Intervenant : Laurent Series (ECP, Châtenay-Malabry)

4 h 30 (3 x 1.5 h)

- Enoncé des TPs
- Correction des TPs


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