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L'équipe CLEF de l'ONERA développe actuellement un logiciel innovant nommé SoNICS pour la simulation de problèmes d'aérodynamique industriels en régime d'écoulements compressibles. L'équipe travaille en particulier à inclure des techniques d'apprentissage profond dans le cœur numérique du solveur pour en améliorer la précision et pour accélérer la résolution du système d'équations.
Dans le cadre de ce stage, nous nous intéresserons à l'accélération des calculs par apprentissage profond des solutions des équations de Navier-Stokes discrétisées sur des maillages. Deux classes de méthodes seront considérées : l'une en considérant le problème direct discrétisé et l'autre en décrivant le problème dans l'espace spectral.
La première classe de méthodes vise à identifier les coefficients optimaux des schémas pour la résolution d'équations hyperboliques. Ces coefficients, dépendant de l'espace, sont obtenus à l'aide d'une stratégie de minimisation d'une fonction de coût s'appuyant sur la dérivée temporelle des bilans de flux. Cette stratégie d'optimisation est construire à l'aide d'une méthode d'apprentissage profond sur plusieurs couches Conv-ReLU. Des travaux de Harvard et Google [1] ont montré que ce type d'approche permettait d'obtenir une résolution extrèmement précise de plusieurs types d'équations hyperboliques à l'aide de moins de degrés de liberté que les approches classiques. Très récemment, cette méthode a été généralisée avec succès à des problèmes à deux dimensions [2] et des approches similaires ont permis d'obtenir des résultats prometteurs en 3D [3].
La seconde classe de méthodes [4], développée en collaboration Caltech-Nvidia il y a quelques mois, s'appuie sur une architecture de deep learning dans l'espace spectral. Cette classe d'approches pourrait permettre des accélérations importantes par rapport aux approches dans l'espace direct, grâce aux bonnes propriétés de super-résolution de la méthode permettant un apprentissage sur des problèmes de petite taille étendus à des problèmes de plus grande taille.
Le stagiaire réalisera une analyse bibliographique ainsi que l'étude de cas simples à deux dimensions qui devra guider le choix du développement d'un prototype pour l'une ou l'autre de ces approches.

Références :

[1] Learning data-driven discretizations for partial differential equations, Y. Bar-Sinai, S. Hoyer, J. Hickey, M.P. Brenner, Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 116 (31), pp 15344-15349, 2019
[2] Learned discretizations for passive scalar advection in a 2-D turbulent flow, J. Zhuang, D. Kochkov, Y. Bar-Sinai, M. P. Brenner, S. Hoyer, 2020, arXiv, 2020
[3] DiscretizationNet: A Machine-Learning based solver for Navier-Stokes Equations using Finite Volume Discretization, R. Ranade, C. Hill, J. Pathak, ArXiv, 2020
[4] Fourier Neural Operator for Parametric Partial Differential Equations, Z. Li , N. Kovachki, K. Azizzadenesheli, B. Liu, K. Bhattacharya, A. Stuart, A. Anandkumar, ICLR 2021