Mots clés : Méthode des éléments virtuels, maillage polygonale, projection, programmation scientifique, simulation numérique, électrostatique, magnétostatique
Contexte :
La méthode des éléments virtuels (VEM) est une méthodologie numérique récente pour l'approximation de problèmes décrits par des équations aux dérivées partielles. Elle peut être considérée comme une généralisation des éléments finis. Le principal atout de la VEM est la possibilité d'utiliser des éléments de maillage avec des formes géométriques arbitraires, ce qui offre une meilleure flexibilité que la méthode des éléments finis (FEM) pour le maillage de géométries complexes.L'idée principale de la méthode des éléments virtuels est de trouver une fonction de base unique, indépendante de la géométrie de l'élément, qui peut projeter les valeurs nodales sur la zone de l'élément tout en étant compatible avec les valeurs interpolées sur la frontière. Contrairement à la FEM, la VEM ne nécessite pas la connaissance explicite des fonctions de base. Au lieu de calculer ces fonctions de base locales à l'avance, elles sont déterminées implicitement sur chaque élément pendant le calcul, d'où le nom virtuel. En outre, les fonctions de base sont construites en fonction d'un entier k, qui représente l'ordre d'interpolation de l'approximation. Toute l'intégration est exécutée sur la frontière de l'élément sans qu'il soit nécessaire d'utiliser une correspondance isoparamétrique. L'avantage par rapport aux éléments finis classiques est qu'il est facilement possible de discrétiser une géométrie en utilisant des polygones/polyèdres convexes ou non convexes avec un nombre arbitraire de sommets. Comme le nombre de n\oe uds peut être modifié sans qu'il soit nécessaire de recalculer ou de changer la base de l'élément, des n\oe uds supplémentaires peuvent facilement être insérés pendant le calcul.
Bien qu'elle soit récente, la méthode VEM a déjà attiré l'attention de la communauté computationnelle, en particulier celle de la mécanique où elle a été étudiée dans le contexte d'un grand nombre de problèmes, notamment l'élasticité linéaire, la déformation finie, l'inélasticité des matériaux, l'optimisation topologique, le contact, la géomécanique et la mécanique des fractures.
Objectifs du stage :
La VEM a été très peu étudiée pour traiter des problèmes électromagnétiques. Dans ce cadre, le (la) candidat(e) participera à l'étude et à l'implémentation de la méthode des éléments virtuels pour traiter des problèmes électrostatiques et/ou magnétostatiques. Une comparaison avec la méthode des éléments finis sera conduite afin d'analyser le comportement de la VEM sur des cas tests.Les différentes phases du stage seront :
- Étude bibliographique sur la VEM pour le traitement de problèmes électrostatiques et/ou magnétostatiques.
- Réalisation d'un code de calcul pour la résolution d'un problème simple d'électrostatique ou de magnétostatique 2D.
- Évaluer la performance de la méthode par rapport à la FEM standard.
- En fonction des résultats et de l'intérêt du (de la) candidat(e), l'étude comprendra une investigation sur l'adaptation de maillage et/ou sur l'adaptation du code au traitement de problème 3D.
Ce travail offrira une base pour pouvoir tester et évaluer la méthode des éléments virtuels pour les problèmes électromagnétiques basses fréquences. Une première revue de littérature est disponible, ainsi qu'une partie des codes de départ (en matlab).
Compétences requises - Profil de l'étudiant(e) :
Le (la) candidat(e) au stage doit avoir de bonnes bases en modélisation numérique, sur la méthode des éléments finis et la programmation scientifique. En outre, le (la) candidat(e) doit montrer un intérêt pour le développement d'outils de modélisation et code de calcul scientifique. Il (elle) doit être motivé(e) par la recherche appliquée en collaboration avec des chercheurs de différentes disciplines. Un bon niveau d'anglais et des capacités de rédaction sont demandés.Ce stage s'adresse à un(e) étudiant(e) en formation en 3ème année École d'Ingénieur (Bac+5) ou Master 2 en mathématique appliquée (méthodes numériques, analyse numérique), physique appliqué, génie électrique, mécanique, intéressé(e) par les méthodes numériques et la programmation scientifique.
Pré-requis : Bonne connaissance de la méthode des éléments finis, programmation scientifique (java, python, matlab), notion en algorithmique.
Informations complémentaires :
- Environnement :
- Laboratoire : Laboratoire de Génie Électrique de Grenoble (G2Elab)
- Équipe de recherche : MAGE - Modèles, Méthodes et Méthodologies Appliqués au Génie Électrique
- Encadrant :
- Nicolas Galopin : nicolas.galopin@univ-grenoble-alpes.fr
- Localisation : Bâtiment GreEn-ER - Grenoble
- Durée du stage : de 5 à 6 mois entre Février et Juillet 2024
- Comment postuler ? Envoyer une lettre de motivation et un CV au superviseur.
