Projet Scientifique
Ce stage de M2 vise à développer de nouvelles méthodes numériques pour l’héliosismologie dans le cadre du projet ANR-DFG Butterfly entre l’équipe INRIA Makutu et l’institut Max Planck à Göttingen et peut se poursuivre par un financement de thèse.Ce projet utilise la sismologie pour étudier l’activité magnétique de la surface du Soleil et des étoiles de type solaire. L’objectif de ce stage est de calculer les noyaux de Green pour les ondes harmoniques, et d’implémenter une méthode des équations intégrales de frontière (BIE). Les modèles solaires standards, comme le modèle S [2], sont à symétrie radiale et représentent le Soleil sans tenir compte de l’activité magnétique, on parle alors de “quiet Sun”. Les effets de l’activité magnétique sur les modes acoustiques peuvent être représentés par des perturbations 3D proches de la surface. Ces perturbations cassent la symétrie radiale, mais la résolution numérique 3D du Soleil entier peut se montrer trop coûteuse avec des méthodes de discrétisation classiques de type éléments finis. En considérant des perturbations compactes, nous allons développer une alternative numérique frugale, en couplant une méthode des équations intégrales de frontière (BIE) pour la partie 3D avec une méthode d’élément finis discontinus pour la partie radiale.
Phase 1 : Calcul des noyaux de Green en exploitant la symétrie axiale.
(1.a) Implémentation et validation du code 2.5D (axisymétrique) pour l’équation scalaire dans le code hawen qui emploie la méthode HDG et le solveur direct MUMPS. Les cas-tests de validation incluent un milieu homogène (pour avoir une solution analytique), et des modèles de paramètres solaires. Pour ces derniers, nous comparerons avec les résultats de [4].
(1.b) Calcul des noyaux de Green 3D et de leurs dérivées pour le “quiet Sun”. Le problème 3D sera réduit sur un problème 2D le long de l’axe méridien en exploitant l’invariance par rotation. Ce faisant nous utilisons l’outil développé en tâche (1.a).Phase 2 : Avec le couplage BIE HDG en tête, nous considérons une méthode d’élément de frontière de Galerkin plutôt qu’une méthode de collocation. Nous aurons besoin des potentiels de double couche associés au noyau et à ses dérivées. La difficulté réside dans la singularité du noyau le long de la diagonale. Les tâches suivantes seront considérées :
(2.a) Familiarisation avec les techniques existantes de Galerkin BIE dans la littérature et calcul des potentiels de double couche avec faible singularité. Nous emploierons la quadrature de Sauter—Schwab comme référence, tout en regardant les alternatives qui peuvent se montrer plus précises, cf. e.g., l’introduction dans [5].
(2.b) Pour des paires d’intégrales régulières, nous allons ‘tensoriser’ la quadrature dans le code hawen. Pour les paires singulières, nous implémenterons la quadrature de Sauter—Schwab, [6, Section 5.2], [7, 1].Compétences
L’étudiante/édudiant doit avoir de solides connaissances en mathématiques appliquées, en particulier sur les équations différentielles. La connaissance des méthodes de discrétisation (éléments finis et/ou Galerkin discontinu) et des éléments de frontière est recommandée. Le stage a également une composante d’implémentation numérique, ce qui nécessite d’être familier avec le codage, voire les aspects de parallélisation de code. Enfin, l’étudiante/édudiant devra lire des papiers scientifiques et produire un rapport d’avancement, il est indispensable d’être à l’aise avec la communication en anglais.Références
[1] T. Betcke and M. W. Scroggs, Designing a high-performance boundary element library with opencl and Numba, Computing in Science & Engineering, 23 (2021), pp. 18–28.
[2] J. Christensen-Dalsgaard, W. Däppen, S. Ajukov, E. Anderson, H. Antia, S. Basu, V. Baturin, G. Berthomieu, B. Chaboyer, S. Chitre, et al., The current state of solar modeling, Science, 272 (1996), pp. 1286–1292.
[3] F. Faucher, hawen: time-harmonic wave modeling and inversion using hybridizable discontinuous Galerkin discretization, Journal of Open Source Software, 6 (2021).
[4] L. Gizon, H. Barucq, M. Duruflé, C. S. Hanson, M. Leguèbe, A. C. Birch, J. Chabassier, D. Fournier, T. Hohage, and E. Papini, Computational helioseismology in the frequency domain: acoustic waves in axisymmetric solar models with flows, Astronomy & Astrophysics, 600 (2017), p. A35.
[5] H. Montanelli, M. Aussal, and H. Haddar, Computing weakly singular and near-singular integrals over curved boundary elements, SIAM Journal on Scientific Computing, 44 (2022), pp. A3728–A3753.
[6] S. A. Sauter and C. Schwab, Boundary element methods, Springer, 2011.
[7] W. Śmigaj, T. Betcke, S. Arridge, J. Phillips, and M. Schweiger, Solving boundary integral problems with BEM++, ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 41 (2015), pp. 1–40.
