Ecole thématique sur les méthodes multigrilles

Descriptif de l'école

Aujourd’hui, les simulations numériques tendent à reproduire des phénomènes physiques de plus en plus complexes, ce qui demande des résolutions toujours plus fines, faisant intervenir plusieurs millions d’inconnues. La résolution des systèmes linéaires qui en découlent requiert non seulement un temps de calcul conséquent mais aussi un espace mémoire important. Dans ce contexte, il est nécessaire d’utiliser des méthodes de résolution efficaces : robustes, rapides, parallèles…

Si les méthodes directes telles que la factorisation LU ou de Cholesky sont appréciées pour leur robustesse, leur utilisation n’est pas envisageable pour de gros systèmes linéaires. En effet, l’espace mémoire requis ainsi que le nombre d’opérations pour réaliser la factorisation augmentent de façon polynomiale en fonction du nombre d’inconnues et de la dimension (2D/3D) du problème. Par ailleurs, ces méthodes ont des caractéristiques intrinsèques qui limitent leur passage à l’échelle.

A l’inverse, les méthodes itératives de type relaxation ou de Krylov peuvent être parallélisées plus facilement et leur empreinte mémoire est moins importante. Elles reposent essentiellement sur des opérations de type produits matrice-vecteur, produits scalaires et additions de vecteurs dont le coût est proportionnel au nombre d’inconnues. Elles sont de plus facilement parallélisables. Cependant, assurer une précision satisfaisante de la solution approchée peut nécessiter un nombre élevé d’itérations car la vitesse de convergence peut dépendre par exemple du conditionnement de la matrice. C’est pourquoi, elles sont le plus souvent utilisées sur un système préconditionné.

Les méthodes multigrilles constituent une autre classe de méthodes que l’on peut considérer comme hybrides de part l’utilisation conjointe des méthodes directes et itératives sur lesquelles elles reposent. Elles permettent alors d’obtenir une solution avec un nombre d’itérations réduit tout en bénéficiant d’une plus grande robustesse sur de nombreuses classes de problèmes. Elles présentent également l’avantage de pouvoir être utilisées aussi bien en solveur qu’en préconditionneur.

Cette école présentera les différentes méthodes multigrilles (géométrique, algébrique,…), leurs principes, les critères permettant de bien choisir les paramètres qui les caractérisent (lisseur, opérateur de projection et de prolongement, niveau de raffinement, ...) et leur implémentation sur architectures parallèles.

Le choix de la thématique de cette école fait suite à de nombreuses demandes remontées lors de précédentes formations organisées par le GdR Calcul. De plus, ces méthodes connaissent aujourd’hui un renouveau car elles peuvent se paralléliser facilement sur les architectures récentes et permettent, de ce fait, de pouvoir résoudre de gros systèmes linéaires creux.

Cette formation s’adresse à toute personne qui est amenée à résoudre de grands systèmes linéaires creux et désireuse de comprendre et d’utiliser les méthodes multigrilles pour les résoudre.
Il peut s’agir de chercheurs (doctorants, post-doctorants, chercheurs confirmés) ou d’ingénieurs.

Les cours ne nécessiteront aucun pré-requis important. En revanche, une connaissance de base sur les solveurs classiques tels que factorisation LU, Jacobi, Gauss-Seidel, GMRES, … sera un plus, de même que quelques notions de parallélisme.

Comité Scientifique

  • Thierry Coupez (CEMEF – MINES ParisTech, Sofia-Antipolis)
  • Martin Gander (Université de Genève)
  • Luc Giraud (INRIA, Bordeaux)
  • Yvan Notay (Université Libre de Bruxelles)
  • François-Xavier Roux (ONERA, Palaiseau)

Comité d'organisation

  • Loïc Gouarin (Laboratoire de Mathématiques d’Orsay)
  • Anne-Sophie Mouronval (MSSMat, Ecole Centrale Paris)
  • Pierre Navaro (IRMA, Strasbourg)
  • Laurent Series (MAS, Ecole Centrale Paris)

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